Question

【題目】已知二次函數為偶函數且圖象經過原點，其導函數的圖象過點．

（1）求函數的解析式；

（2）設函數，其中m為常數，求函數的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）利用待定系數法依題意可設，根據該函數為偶函數可得，根據導函數的圖象過點，可得；（2）由（1）可得： 根據二次函數的性質分為， 和三種情形判斷其單調性得其最值.

試題解析：（1）因為二次函數經過原點，可設，又因為為偶函數，所以對任意實數，都有，即，所以對任意實數都成立，故．所以， ，又因為導函數的圖象過點，所以，解得．所以．

（2）據題意， ，即

① 若，即，當時， ，故在上單調遞減；當時， ，故在上單調遞減，在上單調遞增，故的最小值為．

② 若，即，當時， ，故在上單調遞減；當時， ，故在上單調遞增，故的最小值為．

③ 若，即，當時， ，故在上單調遞減，在上單調遞增；當時， ，故在上單調遞增，故的最小值為．

綜上所述，當時， 的最小值為；當時， 的最小值為；當時， 的最小值為．