Question

【題目】函數

(1)討論的單調性；

(2)若函數有兩個極值點，且，求證：

Answer 1

【答案】(1) 時， 在上單減，在上單增； 時， 在上單減，在和上單增; 時， 在上單增;(2)見解析.

【解析】試題分析：(1) ，分類討論，研究的符號情況，進而得到函數的單調區間;(2) 設函數有兩個極值點，且， 、是的二根 ，若證成立，只需證對恒成立.設，研究其最值即可.

試題解析：

解： 的定義域是,

(1)由題設知，

令，這是開口向上，以為對稱軸的拋物線．

在時，當，即時， ，即在上恒成立．

②當，即時，由得

令，

則，

1) 當即，即時，

時， ，即, 時， ，即

2) 當時，即，即時

時， ，即

或時， ，即

綜上:

時， 在上單減，在上單增；

時， 在上單減，在和上單增; 時， 在上單增．

(2)若函數有兩個極值點，且

則必是，則，則，

且在上單減，在和上單增，

則

、是的二根

，即，

若證成立，只需證

即證對恒成立

設

當時， ， ，

故,故在上單增

故

對恒成立