Question

（2012•許昌二模）已知圓錐的母線長為1，那么該圓錐體積的最大值為（　　）

• A．

  2 3 π

  27

• B．

  3 π

  24

• C．

  2 π

  12

• D．

  2 3 π

  9

Answer 1

分析：根據題意，可得圓錐底面半徑r與高h的關系式：r²+h²=1，由此將圓錐的體積表示成關于r的函數，再將函數表達式中的被開方數湊成乘積為定值的形式，最后利用基本不等式求最值，即可求出求該圓錐體積的最大值．

解答：解：設圓錐底面半徑為r，高為h，則圓錐體積V=

1

3

πr²•h
∵r²+h²=1，∴h=

1-r2

，
∴圓錐體積為
V=

1

3

πr²•

1-r2

=

2π

3

•

r2 2 • r2 2 (1-r2)

，
∵

r2

2

•

r2

2

•（1-r²）≤

( r2 2 + r2 2 +1-r2)

3

=

1

27

當且僅當

r2

2

=1-r²時，即當r=

6

3

時圓錐體積V取得最大值
∴該圓錐體積的最大值為V=

2π

3

•

1 27

=

2 3 π

27

故選：A

點評：本題給出母線長為定值的圓錐，求圓錐體積的最大值．著重考查了圓錐的體積公式和利用基本不等式求最值等知識點，屬于中檔題．