Question

（2012•許昌二模）設a≥0，函數f（x）=[x²+（a-3）x-2a+3]e^x，g(x)=2-a-x-

4

x+1

．
（ I）當a≥1時，求f（x）的最小值；
（ II）假設存在x₁，x₂∈（0，+∞），使得|f（x₁）-g（x₂）|＜1成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（ I）求出f（x）的導數，利用導數求出函數的最值問題；
（ II）根據第一問已經知道f（x）的值域，需要分兩種情況：a＞1或0＜a＜1，根據|f（x₁）-g（x₂）|＜1求出a的范圍；

解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=[x²+（a-1）x-a]e^x=（x+a）（x-1）e^x
∵a≥1，
∴x∈（-∞，-a）時，f（x）遞增，x∈（-a，1）時，f（x）遞減，x∈（1，+∞）時，f（x）遞增，
所以f（x）的極大值點為x₁=-a，極小值點為x₂=1，
而f（1）=（1-a）e≤0，f(-a)=

a+3

ea

＞0，
由于，對二次函數y=x²+（a-3）x-2a+3，對稱軸為x=

3-a

2

＞-a，y（-a）=a+3＞0，
∴當x≤-a時，y=x²+（a-3）x-2a+3＞0，
∴f（x）＞0．             
當x＞-a時，f（x）的最小值為f（1）=（1-a）e．
所以，f（x）的最小值是（1-a）e．                                     
（ II）由（Ⅰ）知f（x）在（0，+∞）的值域是：
當a≥1時，為[（1-a）e，+∞），當0＜a＜1時，為（0，+∞）．                
而g(x)=2-a-x-

4

x+1

在（0，+∞）的值域是為（-∞，-a-1），
所以，當a≥1時，令（1-a）e-（-a-1）＜1，并解得a＞

e

e-1

，
當0＜a＜1時，令0-（-a-1）＜1，無解．
因此，a的取值范圍是a＞

e

e-1

．

點評：此題考查利用導數研究函數的單調性，比較簡單，但是第二問涉及恒成立的問題，就比較復雜，考查了分類討論思想的應用，關于導數求最值的應用在高考是一個熱點問題，每年都會考一道大題，難度中等；