Question

已知雙曲線的離心率為e，右頂點為A，左、右焦點分別為、，點E為右準線上的動點，的最大值為．
（1）若雙曲線的左焦點為，一條漸近線的方程為，求雙曲線的方程；
（2）求（用表示）；
（3）如圖，如果直線l與雙曲線的交點為P、Q，與兩條漸近線的交點為、，O為坐標原點，求證：

Answer 1

,

解：（1）方法1 設雙曲線的方程為，則其漸近線的方程為，即．又∵一條漸近線的方程是，∴，得，．故雙曲線的方程為．
方法2 ∵雙曲線的一條漸近線是，即，∴可設雙曲線的方程為．∵焦點是，∴由得，∴，∴雙曲線的方程為．
（2）設經過點A、的圓C與準線相切于點M，交于點N．
∵（當E與M重合時取“＝”），
∴．∵，∴，又∵，
∴圓C的半徑．由正弦定理得，
∴．
（3）證明：方法1 當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為，代入中得．設，線段PQ的中點為，則．同理，將代入漸近線方程中得
．設，線段的中點為，則
，∴，即線段PQ與線段有共同的中點．當直線l的斜率不存在時，即直線l垂直于x軸時，由對稱性可知線段PQ與線段有共同的中點．∴，即．
方法2 當直線l的斜率不存在或為零時，即直線l垂直于x軸或垂直于y軸時，由對稱性可知線段PQ與線段有共同的中點，∴．
當直線l的斜率存在且不為零時，可設l：．設PQ的中點為，的中點為，則由點差法可得，且，∴點G、在直線：，即上．又∵點G、在直線l：上，∴點G、同為直線與的交點．
故點G、重合，∴，即．