Question

已知雙曲線C：y²-x²=8，直線l：y=-x+8，若橢圓M與雙曲線C有公共焦點，與直線l有公共點P，求橢圓長軸的最小值及此時P點的坐標．

Answer 1

分析：求出雙曲線與橢圓的公共焦點，根據焦點設出橢圓的方程，將直線與橢圓的方程聯立，消去x，令判別式大于等于0求出a的范圍，即得到橢圓的長軸的長的最小值，進一步求出點p的坐標及直線的方程．

解答：解：雙曲線C：y²-x²=8與橢圓M的公共焦點（0，±4），
可設橢圓的方程為

y2

a2

+

x2

a2-16

=1
聯立：

y2 a2 + x2 a2-16 =1 y=-x+8

⇒（2a²-16）x²-16（a²-16）x+（64-a²）（a²-16）=0
由于橢圓與直線l有公共點P，故△=16²（a²-16）²-4（2a²-16）（64-a²）（a²-16）≥0
解得：a≥2

10

，故長軸2a最小值為4

10

此時，上述方程為x²-6x+9=0，得：x=3
代入l方程為y=5，因此P（3，5）

點評：解決直線與圓錐曲線的位置關系的問題，常用的方法是將直線的方程與圓錐曲線的方程聯立來解決．