Question

已知雙曲線C：-y²=1，P是C上的任意點．
（1）求證：點P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數；
（2）設點A的坐標為（5，0），求|PA|的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設P（x，y），由點到直線距離公式，得P到兩準線的距離之積滿足，再結合點P坐標滿足雙曲線方程，代入化簡整理即可得到，命題得證．
（2）由兩點的距離公式結合點P坐標滿足雙曲線方程，化簡整理得|PA|²=，再根據二次函數的圖象與性質，即可求出|PA|的最小值．
解答：解：（1）設P（x，y），P到兩準線的距離記為d₁，d₂
∵兩準線為x-2y=0，x+2y=0…..2'
∴…..4’
又∵點P在曲線C上，
∴=，得（常數）
即點P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數….6’
（2）設P（x，y），由平面內兩點距離公式得
|PA|²=…8’
∵，可得=
∴|PA|²==…..9’
又∵點P在雙曲線上，滿足|x|≥2，
∴當x=4時，|PA|有最小值，|PA|_min=2….12’
點評：本題在雙曲線中，證明動點到兩條漸近線的距離之積為常數并求距離最小值，著重考查了兩點間的距離公式、點到直線的距離公式和雙曲線的簡單性質等知識，屬于中檔題．