Question

（14分）（2011•福建）已知a，b為常數，且a≠0，函數f（x）=﹣ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2.71828…是自然對數的底數）．
（I）求實數b的值；
（II）求函數f（x）的單調區間；
（III）當a=1時，是否同時存在實數m和M（m＜M），使得對每一個t∈[m，M]，直線y=t與曲線y=f（x）（x∈[，e]）都有公共點？若存在，求出最小的實數m和最大的實數M；若不存在，說明理由．

Answer 1

（I）b=2
（II）當a＞0時，函數f（x）的單調遞增區間為（1，+∞），單調遞減區間為（0，1）；
當a＜0時，函數f（x）的單調遞增區間為（0，1），單調遞減區間為（1，+∞）；
（III）見解析

試題分析：（I）把x=e代入函數f（x）=﹣ax+b+axlnx，解方程即可求得實數b的值；
（II）求導，并判斷導數的符號，確定函數的單調區間；
（III）假設存在實數m和M（m＜M），使得對每一個t∈[m，M]，直線y=t與曲線y=f（x）（x∈[，e]）都有公共點，轉化為利用導數求函數y=f（x）在區間[，e]上的值域．
解：（I）由f（e）=2，代入f（x）=﹣ax+b+axlnx，
得b=2；
（II）由（I）可得f（x）=﹣ax+2+axlnx，函數f（x）的定義域為（0，+∞），
從而f′（x）=alnx，
∵a≠0，故
①當a＞0時，由f′（x）＞0得x＞1，由f′（x）＜0得0＜x＜1；
②當a＜0時，由f′（x）＞0得0＜x＜1，由f′（x）＜0得x＞1；
綜上，當a＞0時，函數f（x）的單調遞增區間為（1，+∞），單調遞減區間為（0，1）；
當a＜0時，函數f（x）的單調遞增區間為（0，1），單調遞減區間為（1，+∞）；
（III）當a=1時，f（x）=﹣x+2+xlnx，f′（x）=lnx，
由（II）可得，當x∈（，e），f（x），f′（x）變化情況如下表：

又f（）=2﹣＜2，
所以y=f（x）在[，e]上的值域為[1，2]，
據此可得，若，則對每一個t∈[m，M]，直線y=t與曲線y=f（x）（x∈[，e]）都有公共點；
并且對每一個t∈（﹣∞，m）∪（M，+∞），直線y=t與曲線y=f（x）（x∈[，e]）都沒有公共點；
綜上當a=1時，存在最小實數m=1和最大的實數M=2（m＜M），使得對每一個t∈[m，M]，直線y=t與曲線y=f（x）（x∈[，e]）都有公共點．
點評：此題是個難題．主要考查函數、導數等基礎知識，考查推理論證能力和抽象概括能力、運算求解能力，考查函數與方程思想，數形結合思想，化歸和轉化思想，分類與整合思想．其中問題（III）是一個開放性問題，考查了同學們觀察、推理以及創造性地分析問題、解決問題的能力．