Question

【題目】如圖所示，該幾何體是由一個直三棱柱 和一個正四棱錐 組合而成， ， ．

（Ⅰ）證明：平面 平面 ；
（Ⅱ）求正四棱錐 的高 ，使得二面角 的余弦值是 ．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）正三棱柱 中， 平面 ，
所以 ，又 ， ，
所以 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 平面 ，以 為原點， ， ， 方向為 ， ， 軸建立空間直角坐標系 ，設正四棱錐 的高為 ， ，則 ， ， ， ， ， ， ．
設平面 的一個法向量 ，
則 取 ，則 ，所以 ．
設平面 的一個法向量 ，則
取 ，則 ， ，所以 ．
二面角 的余弦值是 ，
所以 ，
解得 ．
【解析】（1）證明：AD⊥面ABFE，即可證明面PAD⊥面ABFE，（2）建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法建立方程關系即可求正四棱錐P-ABCD的高.