Question

【題目】已知中心在原點 ，焦點在 軸上，離心率為 的橢圓過點 ．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設橢圓與 軸的非負半軸交于點 ，過點 作互相垂直的兩條直線，分別交橢圓于點 ， 兩點，連接 ，求 的面積的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可設橢圓方程為 ，則 ，故 ，
所以，橢圓方程為 ．
（Ⅱ）由題意可知，直線 的斜率存在且不為o．
故可設直線 的方程為 ，由對稱性，不妨設 ，
由 ，消去 得 ，
則 ，將式子中的 換成 ，得： ．


，
設 ，則 ．
故 ，取等條件為 即 ，
即 ，解得 時， 取得最大值
【解析】(1)根據題意結合已知條件利用橢圓的基本性質即可求出a、b的值。(2)根據題意首先判斷出直線的斜率是存在的進而可設出直線的方程，然后聯立直線與橢圓的方程消元求出弦長的代數式，整理化簡借助基本不等式求出最大值。