Question

如圖，已知四面體ABCD的四個面均為銳角三角形，EFGH分別是邊AB，BC，CD，DA上的點，BD||平面EFGH，且EH=FG．
（1）求證：HG||平面ABC
（2）請在平面ABD內過點E做一條線段垂直于AC，并給出證明．

Answer 1

分析：（1）利用線面平行的性質可得BD∥FG，同理可證BD∥EH，由EH=FG可得EFGH為平行四邊形，可得HG∥EF，從而證明HG∥平面ABC．
（2）在平面ABC內過點E作EP⊥AC，且交AC于P點，在平面ACD內過點P作PQ⊥AC，且交AD于Q點，EQ即為所求線段；可證AC垂直于平面EPQ，進而證得EQ垂直AC．

解答：解：（1）證明：因為BD∥平面EFGH，平面BDC∩平面EFGH=FG，所以BD∥FG，同理BD∥EH，又因為EH=FG，
所以，四邊形EFGH為平行四邊形，∴HG∥EF，又HG?平面ABC，所以，HG∥平面ABC．
（2）在平面ABC內過點E作EP⊥AC，且交AC于P點，在平面ACD內過點P作PQ⊥AC，且交AD于Q點，連接EQ，則EQ即為所求線段．
證明如下：

EP⊥AC PQ⊥AC EP∩PQ=P

⇒AC⊥平面EPQ EQ?平面EPQ

⇒EQ⊥AC．

點評：本題考查證明線面平行、線面垂直的方法，做出線段EQ是解題的難點．