Question

求適合下列條件的橢圓的標準方程；
（1）焦點在x軸上，焦距等于4，并且經過點P(3，-2

6

)；
（2）長軸是短軸的3倍，且經過點P（3，0）．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：橢圓的兩個焦點為（-2，0），（2，0），再根據橢圓的定義可得a的值，進而根據a，b，c之間的關系求出b的值，即可求出橢圓的方程．
（2）由題意可得：a=3b，再分別討論橢圓焦點的位置，即可分別求出a與b，進而求出橢圓的標準方程．

解答：解：（1）因為焦點在x軸上，焦距等于4，即c=2，
所以橢圓的兩個焦點為（-2，0），（2，0），
由橢圓的定義可得：橢圓上一點P到兩焦點距離之和等于2a，
因為橢圓經過點P(3，-2

6

)，
所以2a=

(3+2)2+(-2 6 )2

+

(3-2)2+(-2 6 )2

=12，
所以a=6，所以b=

a2-c2

=4

2

，
所以橢圓的方程為：

x2

36

+

y2

32

=1；
（2）因為長軸是短軸的3倍，
所以a=3b．
當橢圓的焦點在x軸上時，
因為橢圓經過點P（3，0），
所以a=3，即b=1，
所以此時橢圓的方程為

x2

9

+y2=1，
當橢圓的焦點在y軸上時，
因為橢圓經過點P（3，0），
所以b=3，a=9，
所以此時橢圓的方程為

y2

81

+

x2

9

=1．

點評：本題主要考查利用橢圓的定義與橢圓的簡單性質求橢圓的標準方程，解決此類問題的步驟是：首先確定標準方程的形式（焦點在x軸還是再y軸上），再根據條件求出 a，b，然后寫出橢圓的方程，此題屬于基礎題．