Question

【題目】已知橢圓的左焦點為,過點做軸的垂線交橢圓于兩點,且.

(1)求橢圓的標準方程;

(2)若為橢圓短軸的上頂點，直線不經過點且與相交于兩點，若直線與直線的斜率的和為，問：直線是否過定點？若是，求出這個定點，否則說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）過定點（2，-1）

【解析】

（1）根據題意，分析可得c的值，進而分析可得，由橢圓的幾何性質分析可得a、b的值，代入橢圓的方程即可得答案；

（2）對直線斜率分類討論，當斜率存在時，利用韋達定理表示斜率和為，得到變量間的關系，即可得到結果．

解：(1)由題意可知，

令，代入橢圓可得，

又，

兩式聯立解得：，

；

(2)①當斜率不存在時，設，

，

得，此時過橢圓右頂點，不存在兩個交點，故不滿足題意.

②當斜率存在時，設，

，

聯立，

整理得， ，

，

，，此時，存在使得成立．

∴直線的方程為，即，

當，時，上式恒成立，

所以過定點．