Question

【題目】已知長(zhǎng)方體中， 為的中點(diǎn)， 在棱上， ， .

（1）若異面直線與互相垂直，求的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)四棱錐的體積為時(shí)，求證：直線平面.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析：如圖，以為原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系.得到相應(yīng)點(diǎn)和相應(yīng)向量的坐標(biāo)，利用空間向量的夾角公式可得的長(zhǎng)

（2）證明：因?yàn)?/span>是長(zhǎng)方體， 在棱上，所以平面，

所以四棱錐的體積，解得.

此時(shí)為的中點(diǎn)，所以. 利用空間向量的知識(shí)可證得直線平面..

試題解析：（1）如圖，以為原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則， ， ， ， ， ， .

設(shè)，則， ，

因?yàn)?/span>，所以，即，解得.

所以，當(dāng)異面直線與互相垂直時(shí)， .

（2）證明：因?yàn)?/span>是長(zhǎng)方體， 在棱上，所以平面，

所以四棱錐的體積 ，解得.

此時(shí)為的中點(diǎn)，所以.

由（1）可知， ， .

設(shè)平面的法向量為，則，即，

令，得， ，所以，

因?yàn)?/span>，

所以，因?yàn)橹本�平面，

所以直線平面.