Question

（本小題滿分12分）
已知為等比數列，；為等差數列的前n項和，.
（1） 求和的通項公式；
（2） 設，求.

Answer 1

（1）a_n=4^n-1. b_n=b₁+(n-1)d=3n-1.（2）T_n=（n-）4ⁿ+

試題分析：（1） 設{a_n}的公比為q，由a₅=a₁q⁴得q=4
所以a_n=4^n-1.            4分
設{ b_n }的公差為d，由5S₅=2 S₈得5(5 b₁+10d)=2(8 b₁+28d)，
,
所以b_n=b₁+(n-1)d=3n-1.          8分
（2） T_n=1·2+4·5+4²·8+ +4^n-1(3n-1),①
4T_n=4·2+4²·5+4³·8+ +4ⁿ(3n-1),②
②-①得：3T_n=-2-3(4+4²+ +4ⁿ)+4ⁿ(3n-1)       10分
= -2+4(1-4^n-1)+4ⁿ(3n-1)
=2+(3n-2)·4ⁿ           12分
∴T_n=（n-）4ⁿ+
點評：中檔題，本解答從研究的關系入手，確定得到通項公式a_n=4^n-1.及b_n =3n-1，從而進一步明確。“分組求和法”、“裂項相消法”、“錯位相消法”是高考常常考到數列求和方法。