Question

【題目】設f（x）=et（x﹣1）﹣tlnx，（t＞0）
（Ⅰ）若t=1，證明x=1是函數f（x）的極小值點；
（Ⅱ）求證：f（x）≥0．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）函數f（x）的定義域為（0，+∞）， 若t=1，則f（x）=ex﹣1﹣lnx，
因為f′（1）=0，
且0＜x＜1時， ，即f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，1）上單調遞減；
x＞1時， ，即f′（x）＞0，
所以f（x）在（1，+∞）上單調遞增；…（5分）
所以x=1是函數f（x）的極小值點；
（Ⅱ）函數f（x）的定義域為（0，+∞），t＞0. ；
令 ，則 ，故g（x）單調遞增．
又g（1）=0，
當x＞1時，g（x）＞0，因而f′（x）＞0，f（x）單增，
即f（x）的單調遞增區間為（1，+∞）；
當0＜x＜1時，g（x）＜0，因而f′（x）＜0，f（x）單減，
即f（x）的單調遞減區間為（0，1）
所以x∈（0，+∞）時，f（x）≥f（1）=1≥0成立
【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，求出函數的極值，判斷即可；（Ⅱ）求出函數的導數，令 ，根據函數的單調性證明即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減)，還要掌握函數的極值與導數(求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值)的相關知識才是答題的關鍵．