Question

【題目】已知函數， ．

（1）求函數的單調區間；

（2）若關于的不等式恒成立，求整數的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）2

【解析】試題分析：（1）先確定函數的定義域，求導后得，根據正負進行討論，可得函數的單調區間；（2）中可通過分離參數將問題轉化成在區間內恒成立求解，令，結合函數零點存在定理可求得的最值。

試題解析：（1）函數的定義域為．

由題意得，

當時， ，則在區間內單調遞增；

當時，由，得或（舍去），

當時， ， 單調遞增，

當時， ， 單調遞減．

所以當時， 的單調遞增區間為，無單調遞減區間；

當時， 的單調遞增區間為，單調遞減區間為．

（2）由，

得，

因為，所以原命題等價于在區間內恒成立．

令，

則，

令，則在區間內單調遞增，

又，

所以存在唯一的，使得，

且當時， ， 單調遞增，

當時， ， ，

所以當時， 有極大值，也為最大值，且 ，

所以，

又，所以,

所以，

因為，

故整數的最小值為2．