Question

【題目】已知函數 (m,n∈R)在x=1處取得極值2.

(1)求f(x)的解析式；

(2)k為何值時，方程f(x)-k=0只有1個根

(3)設函數g(x)=x2-2ax+a，若對于任意x1∈R，總存在x2∈[-1,0]，使得g(x2)≤f(x1)，求a的取值范圍

Answer 1

【答案】（1）；（2）k=或0；（3）.

【解析】試題分析：（1）先由已知函數求其導數，再根據函數 在 處取得極值 ，列出關于 的方程即可求得函數的解析式；（2）利用導數研究函數 的單調性，數形結合可得方程f(x)-k=0只有1個根時的 值；（3）函數g(x)=x2-2ax+a，若對于任意x1∈R，總存在x2∈[-1,0]，使得g(x2)≤f(x1)，等價于當時， ，求出，結合換元法，分離參數后，利用基本不等式求解.

試題解析：（1）因為，所以.

又f(x)在處取得極值2，所以，即解得，

經檢驗滿足題意，所以 .

（2），令，得.

當變化時， 的變化情況如下表：

所以f(x)在處取得極小值，在處取得極大值，

又時， ，所以的最小值為，

如圖

所以k=或0時，方程有一個根.

(也可直接用方程來判斷根的情況解決)

（3）由（2）得的最小值為，

因為對任意的，總存在，使得，

所以當時， 有解，

即在上有解.

令，則，所以.

所以當時， ；

的取值范圍為.

【方法點晴】本題主要考查不等式有解問題、方程根的個數問題以及函數極值問題，屬于難題.不等式有解問題不能只局限于判別式是否為正，不但可以利用一元二次方程根的分布解題，還可以轉化為有解（即可）或轉化為有解（即可）,本題（3）就用了這種方法.