Question

設常數a≥0，函數f（x）=

2x+a

2x-a

．
（1）若a=4，求函數y=f（x）的反函數y=f^-1（x）；
（2）根據a的不同取值，討論函數y=f（x）的奇偶性，并說明理由．

Answer 1

考點：反函數,函數奇偶性的判斷

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據反函數的定義，即可求出，
（2）利用分類討論的思想，若為偶函數求出a的值，若為奇函數，求出a的值，問題得以解決．

解答： 解：（1）∵a=4，
∴f(x)=

2x+4

2x-4

=y
∴2x=

4y+4

y-1

，
∴x=log2

4y+4

y-1

，
∴調換x，y的位置可得y=f-1(x)=log2

4x+4

x-1

，x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）．
（2）若f（x）為偶函數，則f（x）=f（-x）對任意x均成立，
∴

2x+a

2x-a

=

2-x+a

2-x-a

，整理可得a（2^x-2^-x）=0．
∵2^x-2^-x不恒為0，
∴a=0，此時f（x）=1，x∈R，滿足條件；
若f（x）為奇函數，則f（x）=-f（-x）對任意x均成立，
∴

2x+a

2x-a

=-

2-x+a

2-x-a

，整理可得a²-1=0，
∴a=±1，
∵a≥0，
∴a=1，
此時f（x）=

2x+1

2x-1

，x≠0，滿足條件；
綜上所述，a=0時，f（x）是偶函數，a=1時，f（x）是奇函數．

點評：本題主要考查了反函數的定義和函數的奇偶性，利用了分類討論的思想，屬于中檔題．