Question

【題目】已知p：x∈R，2x＞m（x2+1），q：x0∈R，x02+2x0﹣m﹣1=0，
（1）若q是真命題，求m的范圍；
（2）若p∧（￢q）為真，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：若q：x0∈R，x02+2x0﹣m﹣1=0為真，則方程x2+2x﹣m﹣1=0有實根，

∴4+4（m+1）≥0，

∴m≥﹣2

（2）解：2x＞m（x2+1）可化為mx2﹣2x+m＜0．

若p：x∈R，2x＞m（x2+1）為真．

則mx2﹣2x+m＜0對任意的x∈R恒成立．

當m=0時，不等式可化為﹣2x＜0，顯然不恒成立；

當m≠0時，有

∴m＜﹣1．

q：m＜﹣2

又p∧q為真，故p、q均為真命題．

∴

∴m＜﹣2

【解析】（1）根據根的判別式求出m的范圍即可；（2）分別求出p為真，￢q為真時的m的范圍，得到關于m的不等式組，解出即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解復合命題的真假(“或”、 “且”、 “非”的真值判斷:“非p”形式復合命題的真假與F的真假相反；“p且q”形式復合命題當P與q同為真時為真，其他情況時為假；“p或q”形式復合命題當p與q同為假時為假，其他情況時為真)．