Question

【題目】已知f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）在x=±1時取得極值，且f（1）=－1．

（1）試求常數a、b、c的值；

（2）試判斷x=±1是函數的極小值還是極大值，并說明理由．

Answer 1

【答案】略

【解析】

試題分析由f′（1）=0， f′（-1）=0， f（－1）=1，聯立得a=．根據函數的單調性確定極值情況可求得結果．

試題解析：（1）f′（x）=3ax2+2bx+c

∵x=±1是函數f（x）的極值點，

∴x=±1是方程f′（x）=0，即3ax2+2bx+c=0的兩根．

① ②

由根與系數的關系，得又f（1）=－1，∴a+b+c=－1， ③

由①②③解得a=，

（2）f（x）=x3－x，

∴f′（x）=x2－=（x－1）（x+1）

當x＜－1或x＞1時，f′（x）＞0

當－1＜x＜1時，f′（x）＜0

∴函數f（x）在（－∞，－1）和（1，+∞）上是增函數，在（－1，1）上是減函數．

∴當x=－1時，函數取得極大值f（－1）=1，

當x=1時，函數取得極小值f（1）=－1．