Question

【題目】已知函數常數）滿足.

（1）求出的值，并就常數的不同取值討論函數奇偶性；

（2）若在區間上單調遞減，求的最小值；

（3）在（2）的條件下，當取最小值時，證明：恰有一個零點且存在遞增的正整數數列，使得成立.

Answer 1

【答案】（1），時是偶函數，時，非奇非偶函數；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

試題（1）直接代入已知可求得，根據奇偶函數的定義可說明函數是奇（偶）函數，如果要說明它不是奇（偶）函數，可舉例說明，即或；（2）據題意，即當時，總有成立，變形整理可得，由于分母，故，即，注意到，，從而，因此有；（3）在（2）的條件下，，理論上講應用求出零點，由函數表達式可看出，當時，無零點，當時，函數是遞增函數，如有零點，只有一個，解方程，即，根據零點存在定理確定出，這個三次方程具體的解求不出，但可變形為，想到無窮遞縮等比數列的和，有，因此可取.證畢.

（1）由得，解得.

從而，定義域為

當時，對于定義域內的任意，有，為偶函數 2分

當時，從而，不是奇函數；，不是偶函數，非奇非偶. 4分

（2）對于任意的，總有恒成立，即，得. 6分

，，，從而.

又，∴，的最小值等于. 10分

（3）在（2）的條件下，.

當時，恒成立，函數在無零點. 12分

當時，對于任意的，恒有，

即，所以函數在上遞增，又，，

在是有一個零點.

綜上恰有一個零點，且15分

，得，

又，故，

取18分