【題目】在三棱錐
中，
平面
，
，
，
，
是
的中點，
是線段
上的一點，且
.
（1）求證：
平面
；
（2）求點
到平面
的距離.
【答案】（1）證明見解析；（2）
.
【解析】
（1）由已知易得
是
的中點，由
平行平面
內(nèi)直線
，證得
平面；
（2）設(shè)點
到平面
的距離為
，利用
，求得
。
（1）證明：因為
，
，
，
所以
.
因為
，所以
是
的斜邊上的中線，
所以是的中點.
又因為
是
的中點，所以
.
因為
平面，
平面，
所以
平面.
（2）解法一：由（1）得，
.
.
因為
，所以
.
因為
平面
，所以
.
又，
，所以
平面
.
因為
平面，所以
.由（1）知，所以
.
在
中，
，
所以
.
設(shè)點到平面的距離為，
則由，得
，即
.
解得.即點到平面的距離為.
解法二：因為是的中點，
所以點
到平面的距離等于點到平面的距離.
因為平面，所以.
又，，所以平面.
由（1）知，所以
平面.又
平面，
所以平面
平面.
過作
，垂足為
，則
平面，
所以
的長即為點到平面的距離.
在中，由
得
.
所以點到平面的距離為.
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某企業(yè)新研發(fā)了一種產(chǎn)品，產(chǎn)品的成本由原料成本及非原料成本組成.每件產(chǎn)品的非原料成本
（元）與生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量
（千件）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計得到如下數(shù)據(jù)：
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 112 | 61 | 44.5 | 35 | 30.5 | 28 | 25 | 24 |
根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點圖.
觀察散點圖，兩個變量不具有線性相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)考慮用反比例函數(shù)模型
和指數(shù)函數(shù)模型
分別對兩個變量的關(guān)系進行擬合.已求得用指數(shù)函數(shù)模型擬合的回歸方程為
，
與的相關(guān)系數(shù)
.
參考數(shù)據(jù)（其中
）：
|
|
|
|
|
|
|
|
183.4 | 0.34 | 0.115 | 1.53 | 360 | 22385.5 | 61.4 | 0.135 |
（1）用反比例函數(shù)模型求關(guān)于的回歸方程；
（2）用相關(guān)系數(shù)判斷上述兩個模型哪一個擬合效果更好（精確到0.01），并用其估計產(chǎn)量為10千件時每件產(chǎn)品的非原料成本；
（3）該企業(yè)采取訂單生產(chǎn)模式（根據(jù)訂單數(shù)量進行生產(chǎn)，即產(chǎn)品全部售出）.根據(jù)市場調(diào)研數(shù)據(jù)，若該產(chǎn)品單價定為100元，則簽訂9千件訂單的概率為0.8，簽訂10千件訂單的概率為0.2；若單價定為90元，則簽訂10千件訂單的概率為0.3，簽訂11千件訂單的概率為0.7.已知每件產(chǎn)品的原料成本為10元，根據(jù)（2）的結(jié)果，企業(yè)要想獲得更高利潤，產(chǎn)品單價應(yīng)選擇100元還是90元，請說明理由.
參考公式：對于一組數(shù)據(jù)
，
，…，
，其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為：
，
，相關(guān)系數(shù)
.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知動圓
過定點
且在
軸上截得的弦長為4。
（1）求動圓的圓心的軌跡
的方程；
（2）過點
的動直線與曲線交于
兩點，點
在曲線上，使得
的重心
在
軸上，直線
交軸于點
，且點在點的右側(cè)，記
的面積為
的面積為
，求
的最小值。
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
．
（1）求曲線
在
處的切線方程；
（2）函數(shù)
在區(qū)間
上有零點，求
的值；
（3）記函數(shù)
，設(shè)
是函數(shù)
的兩個極值點，若
，且
恒成立，求實數(shù)的最大值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】2018 年1月16日，由新華網(wǎng)和中國財經(jīng)領(lǐng)袖聯(lián)盟聯(lián)合主辦的2017中國財經(jīng)年度人物評選結(jié)果揭曉，某知名網(wǎng)站財經(jīng)頻道為了解公眾對這些年度人物是否了解，利用網(wǎng)絡(luò)平臺進行了調(diào)查，并從參與調(diào)查者中隨機選出
人，把這人分為
兩類（
類表示對這些年度人物比較了解，
類表示對這些年度人物不太了解），并制成如下表格：
年齡段 |
|
|
|
|
人數(shù) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
（1）若按照年齡段進行分層抽樣，從這人中選出
人進行訪談，并從這人中隨機選出兩名幸運者給予獎勵.求其中一名幸運者的年齡在
歲～
歲之間，另一名幸運者的年齡在歲～
歲之間的概率；(注：從人中隨機選出
人,共有種不同選法)
（2）如果把年齡在
歲～歲之間的人稱為青少年，年齡在歲～
歲之間的人稱為中老年，則能否在犯錯誤的概率不超過
的前提下認為青少年與中老年人在對財經(jīng)年度人物的了解程度上有差異？
參考數(shù)據(jù)：
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|
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|
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|
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，其中
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知過橢圓
的左焦點
，作斜率為
的直線
，交橢圓
于
兩點.
（1）若原點
到直線的距離為
，求直線的方程；
（2）設(shè)點
，直線
與橢圓交于另一點
，直線
與橢圓交于另一點
.設(shè)
的斜率為
，則
是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的焦距為
，橢圓
上任意一點到橢圓兩個焦點的距離之和為6．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線
與橢圓交于
兩點，點
（0，1），且
=
，求直線的方程．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，射線
和
均為筆直的公路，扇形
區(qū)域（含邊界）是一蔬菜種植園，其中
、
分別在射線和上.經(jīng)測量得，扇形的圓心角（即
）為
、半徑為1千米.為了方便菜農(nóng)經(jīng)營，打算在扇形區(qū)域外修建一條公路
，分別與射線、交于
、
兩點，并要求與扇形弧
相切于點
.設(shè)
（單位：弧度），假設(shè)所有公路的寬度均忽略不計.
（1）試將公路的長度表示為
的函數(shù)，并寫出的取值范圍；
（2）試確定的值，使得公路的長度最小，并求出其最小值.
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