Question

【題目】已知函數f（x）=x+ 的圖象過點P（1，5）．
（1）求實數m的值，并證明函數f（x）是奇函數；
（2）利用單調性定義證明f（x）在區間[2，+∞）上是增函數．

Answer 1

【答案】
（1）解： 的圖象過點P（1，5），

∴5=1+m，

∴m=4

∴ ，f（x）的定義域為{x|x≠0}，關于原點對稱，

∴f（x）=﹣f（x），

f（x）是奇函數．

（2）證明：設x2＞x1≥2，

則

又x2﹣x1＞0，x1≥2，x2＞2，∴x1x2＞4

∴f（x2）﹣f（x1）＞0，

∴f（x2）＞f（x1），

即f（x）在區間[2，+∞）上是增函數

【解析】（1）代入點P，求得m，再由奇函數的定義，即可得證；（2）根據單調性的定義，設值、作差、變形、定符號和下結論即可得證．
【考點精析】掌握函數單調性的判斷方法和函數的奇偶性是解答本題的根本，需要知道單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱．