Question

已知等差數列{a_n}滿足：a₁+a_2n-1=2n，n∈N^*，設S_n是數列{

1

an

}的前n項和，記f（n）=S_2n-S_n．
（1）求a_n；
（2）比較f（n+1）與f（n）的大小；
（3）（理）若不等式log₂t+log₂x+log₂（2-x）-log₂（12f（n））-3＜0對一切大于1的自然數n和所有使不等式有意義的實數x都成立，求實數t的取值范圍．
（文）如果函數g（x）=x²-3x-3-12f（n）對于一切大于1的自然數n，其函數值都小于零，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）因為數列{a_n}為等差數列，所以數列中的每一項均可用首項和公差表示，代入a₁+a_2n-1=2n，即可求出a_n．
（2）根據等差數列的通項公式，求出函數f（n）的表達式，再用作差法比較f（n+1）與f（n）的大小．
（3）（理）不等式化為t＜

96f(n)

x(2-x)

（0＜x＜2），要使對一切大于1的自然數n和所有使不等式有意義的實數x都成立，則t＜（

96f(n)

x(2-x)

）_min（0＜x＜2），由此可求t的取值范圍；
（文）確定f（n）的最小值為f（2）=

7

12

，從而函數g（x）=x²-3x-3-12f（n）對于一切大于1的自然數n，其函數值都小于零等價于x²-3x-3-7＜0，由此可確定x的取值范圍．

解答：解：（1）設a_n=a₁+（n-1）d，（n∈N^*），由a₁+a_2n-1=2n，得a₁+a₁+（2n-1-1）d=2n，
所以a_n=n
（2）由S_n=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=1+

1

2

+…+

1

n

f（n）=S_2n-S_n=（1+

1

2

+…+

1

2n

）-（1+

1

2

+…+

1

n

）=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

因為f（n+1）-f（n）=（

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n+2

）-（

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

）
=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

=

1

(2n+1)(2n+2)

＞0
所以f（n+1）＞f（n）
（3）（理）不等式log₂t+log₂x+log₂（2-x）-log₂（12f（n））-3＜0可化為log₂t＜log₂

96f(n)

x(2-x)

（0＜x＜2）
∴t＜

96f(n)

x(2-x)

（0＜x＜2）
要使對一切大于1的自然數n和所有使不等式有意義的實數x都成立，則t＜（

96f(n)

x(2-x)

）_min（0＜x＜2）
由（2）可知：數列{f（n）}的項的取值是隨n的增大而增大，當n≥2時，f（n）的最小值為f（2）=

7

12

當0＜x＜2時，x（x-2）的最大值為1
∴（

96f(n)

x(2-x)

）_min=56（0＜x＜2）
∴t＜56
（文）由（2）可知：數列{f（n）}的項的取值是隨n的增大而增大，當n≥2時，f（n）的最小值為f（2）=

7

12

∴函數g（x）=x²-3x-3-12f（n）對于一切大于1的自然數n，其函數值都小于零等價于x²-3x-3-7＜0
∴x²-3x-10＜0
∴-2＜x＜5

點評：本題主要考查了函數與數列的綜合運用，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，確定函數的最值是關鍵．