Question

【題目】已知動圓過定點,且在軸上截得線段的長為 4，直線交軸于點.

(1)求動圓圓心的軌跡的方程；

(2)直線與軌跡交于兩點，分別以為切點作軌跡的切線交于點，若.試判斷實數所滿足的條件，并說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：（1）根據垂徑定理列出動圓圓心滿足的條件，化簡可得軌跡方程；（2）由, 得,再利用導數幾何意義得切線斜率，根據點斜式可得切線方程，解方程組可得P點坐標，聯立直線方程與拋物線方程，結合韋達定理化簡等量關系得，解得.

試題解析：(1)設動圓圓心的坐標為，半徑， ，

∵動圓過定點，且在軸上截得線段的長為4，

∴，消去得，

故所求軌跡的方程為 ；

(2)實數是定值，且，下面說明理由，

不妨設，

，由題知，

由，消去得，

∴，軌跡在點處的切線方程為，即，

同理，軌跡在處的切線方程為，

聯立：的方程解得交點坐標，即，

由,

得,即,

， ，

∴，

即，

則，

則，故實數是定值，且.