Question

【題目】已知拋物線，過點的直線交拋物線于兩點．

（1）若直線平行于軸，，求拋物線的方程；

（2）對于（1）條件下的拋物線，當直線的斜率變化時，證明．

Answer 1

【答案】（1）

（2）證明見解析

【解析】

（1）由直線平行于軸可知是以為頂點的等腰三角形，聯立直線與拋物線的方程并利用三角形面積公式列方程，解得的值，即得拋物線的方程；

（2）聯立直線與拋物線的方程，利用根與系數的關系及斜率公式得到，即得，利用三角形面積公式得到線段比，即得證．

解：（1）當直線平行于軸時，直線的方程為是以為頂點的等腰三角形，

聯立方程，得消去得，得．

所以，解得，

所以拋物線的方程為．

（2）欲證，

只需證．

由題意可知直線的斜率存在，

故可設直線的方程為，

聯立方程，得

消去，得，

則

所以直線的斜率，

直線的斜率，

，

所以直線與的傾斜角互補，

所以．

又，，

所以，

所以．