Question

【題目】已知定點(diǎn)M（﹣ ），N是圓C：（x﹣ ）2+y2=16（C為圓心） 上的動(dòng)點(diǎn)，MN的垂直平分線與NC交于點(diǎn)E．
（1）求動(dòng)點(diǎn)E的軌跡方程C1；
（2）直線l與軌跡C1交于P，Q兩點(diǎn)，與拋物線C2：x2=4y交于A，B兩點(diǎn)，且拋物線C2在點(diǎn)A，B處的切線垂直相交于S，設(shè)點(diǎn)S到直線l的距離為d，試問：是否存在直線l，使得d= ？若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意有：|EM|+|EC|=|EN|+|EC|=|NC|=4，故動(dòng)點(diǎn)E的軌跡為以M，C為焦點(diǎn)，長軸為4的橢圓．

于是： ，從而 ，故動(dòng)點(diǎn)E的軌跡方程C1為：

（2）解：設(shè)直線l：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3）Q（x4，y4），由 ，

得：x2﹣4kx﹣4m=0，故x1+x2=4k，x1x2=﹣4m．

由x2=4y得： ，即切線斜率 ．

于是： ，

由PA⊥PB得； ，

解得：m=1，

這說明直線l過拋物線C2的焦點(diǎn)F，由 ，

得： 即S（2k，﹣1）．

于是：點(diǎn)S（2k，﹣1）到直線l：kx﹣y+1=0的距離 ，

由 得：（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，

從而 ，

同理：|AB|=4（1+k2），

由 得 ，

化簡整理，得：28k4+36k2+7=0，此方程無解，

所以不存在直線l，使得

【解析】（1）由題意可知：：|EM|+|EC|=|EN|+|EC|=|NC|=4，故動(dòng)點(diǎn)E的軌跡為以M，C為焦點(diǎn)，長軸為4的橢圓，分別求得a、b和c的值，求得動(dòng)點(diǎn)E的軌跡方程C1；（2）設(shè)出直線l的方程，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理求得x1+x2及x1x2 ， 利用導(dǎo)數(shù)法求得直線PA和PB的斜率，由PA⊥PB，求得m的值，直線l過拋物線C2的焦點(diǎn)F，求得交點(diǎn)S的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，求得S到到直線l：kx﹣y+1=0的距離d，根據(jù)弦長公式求得丨PQ丨及|AB|，由 ，求得28k4+36k2+7=0，此方程無解，不存在直線l，使得 ．