Question

已知向量

OA

=(sinwx，coswx)，

OB

=(

3

coswx，coswx)，其中0＜ω＜2，設函數f(x)=

OA

•

OB

．
（1）若f（x）的最小正周期為2π，求函數f（x）的單調遞減區間；
（2）若函數f（x）圖象的一條對稱軸為x=

π

6

，求w的值．

Answer 1

分析：（1）利用兩個向量的數量積的公式求得f（x）=cos(2wx-

π

3

)，根據它的周期求出w=

1

2

，再由x-

π

3

∈[2kπ，2kπ+π]，k∈Z，求出x的范圍，即可求得f（x）的單調遞減區間．
（2）由f（x）圖象的一條對稱軸為x=

π

6

，可得2w×

π

6

-

π

3

=kπ，k∈Z，再根據0＜w＜2，求出w的值．

解答：解：由題意得f(x)=

OA

•

OB

=

3

sinwx•coswx+cos2wx
=

3

2

sin2wx+

cos2wx+1

2

=

3

2

sin2wx+

1

2

cos2wx+

1

2

=cos(2wx-

π

3

)+

1

2

．
（1）若f（x）的最小正周期為2π，則T=

2π

2w

=2π，所以w=

1

2

．
則f(x)=cos(x-

π

3

)+

1

2

，又因為cosx的單調遞減區間為[2kπ，2kπ+π]，k∈Z，
所以當x-

π

3

∈[2kπ，2kπ+π]，k∈Z時，為f（x）的單調遞減區間，所以f（x）的單調遞減區間為[2kπ+

π

3

，2kπ+

4π

3

]，k∈Z．
（2）若f（x）圖象的一條對稱軸為x=

π

6

，則由題意可得2w×

π

6

-

π

3

=kπ，k∈Z，
即w=3k+1，k∈Z；
又因為0＜w＜2，所以只有當k=0時成立，所以w=1．

點評：本題主要考查余弦函數的對稱性、周期性及單調性的應用，兩個向量的數量積的運算，屬于中檔題．