Question

已知向量

OA

=(cos2α，1+sin2α)，

OB

=(1，2)，

OC

=(2，0)．
（1）若α∈(0，

π

2

)，且sinα=

10

10

，求證：O，A，B三點共線；
（2）若

π

4

≤α≤

π

2

，求向量

OA

與

OC

的夾角θ范圍．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數的平方關系及二倍角公式求出向量

OA

=(cos2α，1+sin2α)的坐標由

OA

=(

4

5

，

8

5

)=

4

5

OB

，利用向量共線的充要條件得到O，A，B三點共線；
（2）利用向量的數量積公式求出向量

OA

與

OC

的夾角θ的余弦用α的三角函數表示，根據

π

4

≤α≤

π

2

，求出夾角θ范圍．

解答：解：（1）∵sinα=

10

10

，α∈(0，

π

2

)，
∴cosα=

3 10

10

∴sin2α=2sinαcosα=

3

5

，cos2α=cos2α-sin2α=

4

5

．…（3分）
∴

OA

=(

4

5

，

8

5

)=

4

5

OB

，
∴

OA

∥

OB

．
∴O，A，B三點共線，…（4分）
（2）∵cosθ=

(cos2α，1+sin2α)•(2，0)

2 cos22α+(1+sin2α)2

=

cos2α

2+2sin2α

=

cos2α

2 |sinα+cosα|

=

cos2α-sin2α

2 (sinα+cosα)

=

2

2

(cosα-sinα)=cos(α+

π

4

)…（6分）
∵

π

4

≤α≤

π

2

，
∴

π

2

≤α+

π

4

≤

3π

4

，
而θ∈[0，π]，
∴θ=α+

π

4

∴θ的范圍為[

π

2

，

3π

4

]．…（8分）

點評：解決向量的夾角問題，應該利用向量的數量積公式將向量夾角的余弦表示出來再解決；解決三點共線問題，一般轉化為以三個點為起點、終點的向量共線問題來解決．