Question

如圖，四邊形PCBM是直角梯形，，∥，．又，，直線AM與直線PC所成的角為．

（1）求證：；
（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

試題分析：方法1：（1）∵，∴平面ABC，∴．5分
（2）取BC的中點N，連MN．∵，∴，∴平面ABC．作
，交AC的延長線于H，連結MH．由三垂線定理得，∴為二面角的平面角．∵直線AM與直線PC所成的角為，∴在中，．
在中，．
在中，．
在中，．
在中，∵，∴．
故二面角的余弦值為．13分
方法2：（1）∵，∴平面ABC，∴．5分
（2）在平面ABC內，過C作BC的垂線，并建立空間直角坐標系如圖所示．設，則．．   5分
∵，
且，∴，得，∴． 8分
設平面MAC的一個法向量為，則由得得∴． 10分
平面ABC的一個法向量為． 12分
顯然，二面角為銳二面角，∴二面角的余弦值為．13分
點評：解決的關鍵是借助于空間向量法或幾何性質法來得到證明和求解，屬于基礎題。