Question

如圖，F₁，F₂是雙曲線C：(a＞0，b＞0) 的左、右焦點，過F₁的直線與的左、右兩支分別交于A，B兩點．若 | AB | : | BF₂ | : | AF₂ |＝3 : 4 : 5，則雙 曲線的離心率為           .

Answer 1

試題分析：根據雙曲線的定義可求得a=1，∠ABF₂=90°，再利用勾股定理可求得2c=|F₁F₂|，從而可求得雙曲線的離心率．
解：∵|AB|：|BF₂|：|AF₂|=3：4：5，不妨令|AB|=3，|BF₂|=4，|AF₂|=5，∵|AB|²+|BF₂|2=|AF₂|2，∴∠ABF₂=90°，又由雙曲線的定義得：|BF₁|-|BF₂|=2a，|AF₂|-|AF₁|=2a，∴|AF₁|+3-4=5-|AF₁|，∴|AF₁|=3．∴|BF₁|-|BF₂|=3+3-4=2a，
∴a=1．在Rt△BF₁F₂中，|F₁F₂|²=|BF₁|²+|BF₂|²=6²+4²=52，∵|F₁F₂|²=4c²，∴4c²=52，∴c=，∴雙曲線的離心率 ，故答案為。
點評：本題考查雙曲線的簡單性質，考查轉化思想與運算能力，求得a與c的值是關鍵，屬于中檔題．