Question

【題目】問：是否存在這樣的正整數(shù)數(shù)列，滿足，且對(duì)每個(gè)，均有或；而其各項(xiàng)的值恰構(gòu)成的一個(gè)排列？證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

由于，而，注意到，“差”運(yùn)算具有“平移性”，即若或13，則對(duì)任意的整數(shù)，也有或13.

為此，先將集合｛1，2，…，33｝中的數(shù)排成一個(gè)圈，使得圈上任何相鄰兩數(shù)之差均為20或13，如圖.

將此圈從任一間隙處剪開，鋪陳的線狀排列，均滿足或13.

為將數(shù)列鎖定，在前面添加一項(xiàng)，使數(shù)列也滿足條件，可選擇與數(shù)33相鄰的一個(gè)間隙剪開.例如，從33右側(cè)間隙剪開，并按順時(shí)針排列就成為：

0，13，26，6，19，32，12，25，5，18，31，11，24，4，17，30，10，23，3，16，29，9，22，2，15，28，8，21，1，14，27，7，20，33，（記為）.

若從33左側(cè)間隙剪開，并按逆時(shí)針排列則成為：

0，20，7，27，14，…，6，26，13，33.

以上兩種排列均滿足或13.

記分段數(shù)列，

，

其中，.

將這些段作如下聯(lián)結(jié)：，所得到的數(shù)列滿足條件.

事實(shí)上，，

對(duì)其中任意兩個(gè)鄰項(xiàng)、屬于同一個(gè)分段，顯然，或13；若相鄰項(xiàng)、屬于兩個(gè)相鄰段與，則是的首項(xiàng)，即

，

而是的末項(xiàng)，即，此時(shí)，.

因此，數(shù)列滿足條件.