Question

【題目】已知函數，其中為自然對數的底數.

（1）證明：在上單調遞增.

（2）設，函數，如果總存在，對任意，都成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）根據定義任取,,且,利用作差,變形后即可判斷符號,即可證明函數的單調性.

（2）根據定義可判斷和的奇偶性.由不等式在區間上的恒成立,可知存在,對任意都有.根據解析式及單調性,分別求得的最大值和的最大值,即可得不等式.再利用換元法,構造對勾函數形式,即可解不等式求得的取值范圍.

（1）證明：任取,,且,則

因為,,所以,,,

所以,即當時,總有,所以在上單調遞增.

（2）由,

得是上的偶函數,同理,也是上的偶函數.

總存在,對任意都有,即函數在上的最大值不小于,的最大值.

由（1）知在上單調遞增,所以當時,的最大值為,

.

因為,,所以當時,的最大值為.

所以.

令,則,

令,

易知在上單調遞增,又,所以,即,

所以,即實數的取值范圍是.