【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
為直角梯形，
，
，
，
，且
為
的中點，延長
交
于點
，且
在底內的射影恰為
的中點
，
為
的中點，
為
上任意一點.
（1）證明：平面
平面
；
（2）求平面與平面
所成銳角二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】
（1）根據
平面ABCD，得到
，由平面幾何知識得到
，從而得到
平面
，所以所以平面
平面；（2）以
為原點建立空間直角坐標系，得到平面
和平面的法向量，利用向量的夾角公式，得到這兩個面所成的銳角二面角的余弦值.
（1）由題意，E為CD的中點，
因為平面ABCD，
平面ABCD，
所以，又因為
，
，
，
所以
垂直平分
，
所以
又因
，
所以
為正方形，
所以
因為
為
的中點，
所以
而
，所以，
又
，所以平面，
又
平面
，
所以平面平面.
（2）因為
在底面ABCD內的射影恰為OA的中點H，
所以
.
因為
，所以過點O分別作AD，AB的平行線（如圖），
并以它們分別為x，y軸，
以過O點且垂直于
平面的直線為z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
所以
，
，
，
，
，
所以
，
，
設平面的一個法向量為
，
則
，所以
令
，則
，
由（1）知，
平面，所以
平面，
所以
為平面的一個法向量，
則
.
故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.
時刻準備著暑假作業原子能出版社系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】[選修4―4：坐標系與參數方程]
在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為
（θ為參數），直線l的參數方程為
.
（1）若a=1，求C與l的交點坐標；
（2）若C上的點到l的距離的最大值為
，求a.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，某園林單位準備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，△ABC外的地方種草，△ABC的內接正方形PQRS為一水池，其余的地方種花．若BC＝a，∠ABC＝
，設△ABC的面積為S1,正方形的面積為S2．
(1)用a，表示S1和S2；
(2)當a固定，變化時，求
取最小值時的角．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，某公園有三個警衛室
、
、
有直道相連，
千米，
千米，
千米.
（1）保安甲沿
從警衛室出發行至點
處，此時
，求
的直線距離；
（2）保安甲沿從警衛室出發前往警衛室，同時保安乙沿
從警衛室出發前往警衛室，甲的速度為1千米/小時，乙的速度為2千米/小時，若甲乙兩人通過對講機聯系，對講機在公園內的最大通話距離不超過3千米，試問有多長時間兩人不能通話？（精確到0.01小時）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
為拋物線
的焦點，過點任作兩條互相垂直的直線
，
，分別交拋物線
于
，
，
，
四點，
，
分別為
，
的中點．
（1）求證：直線
過定點，并求出該定點的坐標；
（2）設直線交拋物線于
，
兩點，試求
的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
:
的右焦點為
，過點的直線（不與
軸重合）與橢圓相交于
，
兩點，直線
：
與軸相交于點
，過點作
，垂足為D.
（1）求四邊形
（
為坐標原點）面積的取值范圍；
（2）證明直線
過定點
，并求出點的坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
在橢圓
上，
、
分別為
的左、右頂點，直線
與
的斜率之積為
，
為橢圓的右焦點，直線
.
（1）求橢圓的方程；
（2）直線
過點且與橢圓交于
、
兩點，直線
、
分別與直線
交于
、
兩點.試問：以
為直徑的圓是否過定點？如果是，求出定點坐標，否則，請說明理由.
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