Question

【題目】橢圓的兩個焦點，，設，分別是橢圓的上、下頂點，且四邊形的面積為，其內切圓周長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）當時，，為橢圓上的動點，且，試問：直線是否恒過一定點？若是，求出此定點坐標，若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）恒過定點.

【解析】

（1）根據條件，求出b，c的值，從而求出橢圓的方程；

（2）設直線方程為，聯立直線和橢圓的方程，利用韋達定理及，求出m，可得直線恒過定點．

（1）依題意，四邊形的面積為，

則，即

又四邊形的內切圓周長為，記內切圓半徑為，

由，得，

由得，

又，且，

故或

所以橢圓的方程為或.

（2）因為，所以橢圓的方程為，則

設，，由題意知直線斜率存在，設直線方程為

則由得，

則。

Δ，

由，可得，即

即，又，

所以

整理得

解得（舍去）或

又滿足式

故直線方程為

所以直線恒過定點.