Question

【題目】如圖，已知焦點在x軸上的橢圓 =1（b＞0）有一個內含圓x2+y2= ，該圓的垂直于x軸的切線交橢圓于點M，N，且 ⊥ （O為原點）．

（1）求b的值；
（2）設內含圓的任意切線l交橢圓于點A、B．求證： ，并求| |的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當MN⊥x軸時，MN的方程是x=± ，

設M（± ，y1），N（± ，﹣y1），

由 ⊥ 知|y1|= ，

即點（ ， ）在橢圓上，代入橢圓方程得b=2

（2）證明：當l⊥x軸時，由（1）知 ；

當l不與x軸垂直時，設l的方程是：y=kx+m，即kx﹣y+m=0

則 = ，即3m2=8（1+k2）

y=kx+m代入橢圓方程可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，

△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）= （4k2+1）＞0，

設A（x1，y1），B（x2，y2）

則x1+x2= ，x1x2= ，

所以x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2= =0，即 ．

即橢圓的內含圓x2+y2= 的任意切線l交橢圓于點A、B時總有 ．

當l⊥x軸時，易知|AB|=2 =

當l不與x軸垂直時，|AB|= =

設t=1+2k2∈[1，+∞）， ∈（0，1]

則|AB|= =

所以當 = 即k=± 時|AB|取最大值2 ，

當 =1即k=0時|AB|取最小值 ，

綜上|AB|∈

【解析】（1）設出M，N的坐標，利用 ⊥ 知|y1|= ，即點（ ， ）在橢圓上，代入橢圓方程，即可求b的值；（2）分類討論，當l⊥x軸時，由（1）知 ；當l不與x軸垂直時，設l的方程是：y=kx+m，代入橢圓方程可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，利用韋達定理證明x1x2+y1y2=0即可，利用弦長公式，結合換元、配方法，即可確定|AB|的取值范圍．