Question

【題目】已知數列的前項和為， ，數列滿足點在直線上.

(1)求數列， 的通項， ；

(2)令，求數列的前項和；

(3)若，求對所有的正整數都有成立的的范圍．

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）

【解析】試題分析：（1）通過與作差，進而整理可知數列是首項為、公比為2的等比數列，通過將點代入直線計算可知，進而整理即得結論；（2）利用錯位相減法計算即得結論；（3）通過（1）及作差法計算可知數列為單調遞減數列，進而問題轉化為求的最小值，利用基本不等式計算即得結論.

試題解析：(1)解: ∵，∴,當時， ，∴，∴，∴是首項為，公比為2的等比數列，因此，當時，滿足，所以，因為在直線上，所以，而，所以.

(2)∵，∴③，因此④，③-④得： ，∴

(3)證明:由(1)知， ，∵ ，∴數列為單調遞減數列；∴當時， 即最大值為1，由可得， ，而當時， 當且僅當時取等號，∴.