Question

已知橢圓的長軸長是短軸長的兩倍，焦距為.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設不過原點的直線與橢圓交于兩點、，且直線、、的斜率依次成等比數列，求△面積的取值范圍.

Answer 1

(1) ；(2)△面積的取值范圍為 。

試題分析：(1)由已知得 ∴方程：  （4分）
(2)由題意可設直線的方程為： 
聯立 消去并整理，得：
則△ ,
此時設、∴
于是  （7分）
又直線、、的斜率依次成等比數列，
∴  
由  得：  .又由△ 得：
顯然 （否則：，則中至少有一個為0，直線、 中至少有一個斜率不存在，矛盾！）                     （10分）
設原點到直線的距離為,則

故由得取值范圍可得△面積的取值范圍為 （13分）
點評：中檔題，曲線關系問題，往往通過聯立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題求橢圓標準方程時，主要運用了橢圓的定義及幾何性質。（2）作為研究點到直線的距離最值問題，利用了函數思想。