Question

【題目】已知函數（）.

（1）若在處取到極值，求的值；

（2）若在上恒成立，求的取值范圍；

（3）求證：當時， .

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；(3)證明見解析.

【解析】試題分析：（1）根據極值的概念得到，可得到參數值；（2）轉化為函數最值問題，研究函數的單調性，分時，時，，三種情況討論單調性，使得最小值大于等于0即可；（3）由（1）知令，當時，，當時，，給x賦值：2，3，4，5等，最終證得結果.

試題解析：（1），

∵在處取到極值，

∴，即，∴，

經檢驗，時，在處取到極小值.

（2），令（），

1°當時，，在上單調遞減，又，

∴時，，不滿足在上恒成立.

2°當時，二次函數開口向上，對稱軸為，過.

①當，即時， 在上恒成立，∴，從而在上單調遞增，

又，∴時，成立，滿足在上恒成立；

②當，即時，存在，使時， ，單調遞減，時，，單調遞增，

∴，又，∴，故不滿足題意.

3°當時，二次函數開口向下，對稱軸為， 在單調遞減， ，

∴，在上單調遞減，又，∴時，，故不滿足題意；綜上所述， .

（3）證明：由（1）知令，當時， （當且僅當時取“”），

∴當時.即當2,3,4， ，，有

.