Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD∥BC，CD=13，AB=12，BC=10，AD=5，PD=8，點E，F分別是PB，DC的中點．

（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求EF與平面PDB所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取CB的中點G，連結DG，因為AD∥BG且AD=BD，

所以四邊形ABGD為平行四邊形，

所以DG=AB=12，

又因為AB⊥AD，

所以DG⊥AD，

又PD⊥平面ABCD，

故以點D原點建立如圖所示的空間直角坐標系．…

因為BC=10，AD=5，PD=8，

所以有D（0，0，0），P（0，0，8），B（12，5，0），C（12，﹣5，0），

因為E，F分別是PB，DC的中點，

所以E（6，﹣2.5，0），F（6，2.5，4），

因為PD⊥平面ABCD，DG平面ABCD，

所以PD⊥DG，

又因為DG⊥AD，AD∩PD=D，AD，PD平面PAD，

所以DG⊥平面PAD，

所以 =（12，0，0）為平面PAD的一個法向量，

又 =（0，5，4）， =0，

所以 ，

又EF平面PAD，所以EF∥平面PAD；

（2）設平面PAD的法向量為 =（x，y，z），

所以 ，即 ，即 ，

令x=5，則 =（5，﹣12，0）…

所以EF與平面PDB所成角θ滿足：

sinθ= = = ，

所以EF與平面PDB所成角的正弦值為

【解析】（1）先建立空間直角坐標系，再找出平面PAD的一個法向量，進而利用兩個向量垂直可證EF∥平面PAD；（2）先找出平面PAD的法向量，再利用線面夾角公式可得EF與平面PDB所成角的正弦值．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則即可以解答此題．