Question

【題目】如圖，在底面是菱形的四棱錐P﹣ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD= ，點E在PD上，且PE：ED=2：1．

（Ⅰ）證明PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角θ的大小；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在一點F，使BF∥平面AEC？證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明因為底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，

所以AB=AD=AC=a，在△PAB中，

由PA2+AB2=2a2=PB2知PA⊥AB．

同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD．

（Ⅱ）解：作EG∥PA交AD于G，

由PA⊥平面ABCD．

知EG⊥平面ABCD．作GH⊥AC于H，連接EH，

則EH⊥AC，∠EHG即為二面角θ的平面角．

又PE：ED=2：1，所以 ．

從而 ，θ=30°．

（Ⅲ）解法一以A為坐標原點，直線AD、AP分別為y軸、z軸，過A點垂直平面PAD的直線為x軸，建立空間直角坐標系如圖．

由題設(shè)條件，相關(guān)各點的坐標分別為 . ．

所以 ． ． ．

設(shè)點F是棱PC上的點， ，其中0＜λ＜1，

則 = ．

令 得 即

解得 ．即 時， ．

亦即，F(xiàn)是PC的中點時， 、 、 共面．

又BF平面AEC，所以當F是棱PC的中點時，BF∥平面AEC．

解法二：當F是棱PC的中點時，BF∥平面AEC，證明如下，

證法一：取PE的中點M，連接FM，則FM∥CE．①

由 ，知E是MD的中點．

連接BM、BD，設(shè)BD∩AC=O，則O為BD的中點．

所以BM∥OE．②

由①、②知，平面BFM∥平面AEC．

又BF平面BFM，所以BF∥平面AEC．

證法二：

因為 = = ．

所以 、 、 共面．

又BF平面ABC，從而BF∥平面AEC．

【解析】（I）利用勾股定理可證PA⊥AB、PA⊥AD，進而可證PA⊥平面ABCD；（II）先找出以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角θ的平面角，再利用解三角形可得以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角θ的大小；（III）解法一：先建立空間直角坐標系，再證、、 共面，進而可得點F的位置；解法二：證法一先利用三角形的中位線可證BM∥OE，再利用面面平行可證BF∥平面AEC；證法二利用向量表示可證、、 共面，進而可證BF∥平面AEC．