Question

求由下列條件所決定圓x²+y²=4的圓的切線方程：
（1）經過點P(

3，

1)，（2）經過點Q（3，0），（3）斜率為-1．

Answer 1

分析：（1）當切線斜率不存在時，直線與圓位置關系是相交，不合題意，所以設切線方程的斜率為k，根據P的坐標寫出切線的方程，然后根據直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線的距離d，讓d等于半徑r列出關于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，根據求出的k的值和P的坐標寫出切線方程即可；
（2）當切線斜率不存在時，直線與圓位置關系是外離，不合題意，所以設出切線方程的斜率為k，根據直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線的距離d，讓d等于圓的半徑r列出關于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，由k的值和Q的坐標寫出切線方程即可；
（3）設出切點的坐標為（a，b），根據已知的斜率為-1，表示出切線的方程，然后利用點到直線的距離公式表示出圓心到所設直線的距離d，讓d等于圓的半徑r列出關于a與b的絕對值關系式，經討論得到關于a與b的兩關系式，分別記作①和②，把切點的坐標代入圓的方程，得到關于a與b的關系式，記作③，把①③聯立，②③聯立，分別求出兩對a與b的值，得到切點的坐標有兩個，根據求出的切點坐標和已知的切線的斜率寫出切線方程即可．

解答：解：（1）經判斷，得到點P在圓上，
當斜率k不存在時，直線與圓相交，不合題意，所以設切線方程的斜率為k，
則切線方程為：y-1=k（x-

3

），
所以圓心（0，0）到直線的距離d=

|1- 3 k|

k2+1

=r=2，
化簡得：(k+

3

)2=0，解得k=-

3

，
所以切線方程為：y=-

3

x+4；

（2）當直線斜率不存在時，直線與圓外離，不合題意，設過點Q的切線方程的斜率為k，
則切線方程為y=k（x-3），
所以圓心到直線的距離d=

|-3k|

k2+1

=r=2，
化簡得：k=±

2 5

5

，
所以切線方程為：y=

2 5

5

x-

6 5

5

或y=-

2 5

5

x+

6 5

5

；

（3）設切點坐標為（a，b），則切線方程為：y-a=-（x-b），即x+y-a-b=0，
所以圓心到直線的距離d=

|a+b|

2

=2，即a+b=2

2

①或a+b=-2

2

②，
又把切點坐標代入圓的方程得：a²+b²=4③，
由①得：a=2

2

-b，代入③得：a=b=

2

；由②得：a=-2

2

-b，代入③得：a=b=-

2

，
所以切點坐標分別為（

2

，

2

）或（-

2

，-

2

），
則切線方程為：y-

2

=-（x-

2

）或y+

2

=-（x+

2

），
即x+y-2

2

=0或x+y+2

2

=0．

點評：此題考查學生掌握直線與圓相切時圓心到直線的距離等于圓的半徑，靈活運用點到直線的距離公式化簡求值，是一道中檔題．