Question

求由下列條件所決定圓x²+y²=4的圓的切線方程：
（1）經(jīng)過點，（2）經(jīng)過點Q（3，0），（3）斜率為-1．

Answer 1

解：（1）經(jīng)判斷，得到點P在圓上，
當(dāng)斜率k不存在時，直線與圓相交，不合題意，所以設(shè)切線方程的斜率為k，
則切線方程為：y-1=k（x-），
所以圓心（0，0）到直線的距離d==r=2，
化簡得：=0，解得k=-，
所以切線方程為：y=-x+4；

（2）當(dāng)直線斜率不存在時，直線與圓外離，不合題意，設(shè)過點Q的切線方程的斜率為k，
則切線方程為y=k（x-3），
所以圓心到直線的距離d==r=2，
化簡得：k=±，
所以切線方程為：y=x-或y=-x+；

（3）設(shè)切點坐標(biāo)為（a，b），則切線方程為：y-a=-（x-b），即x+y-a-b=0，
所以圓心到直線的距離d==2，即a+b=2①或a+b=-2②，
又把切點坐標(biāo)代入圓的方程得：a²+b²=4③，
由①得：a=2-b，代入③得：a=b=；由②得：a=-2-b，代入③得：a=b=-，
所以切點坐標(biāo)分別為（，）或（-，-），
則切線方程為：y-=-（x-）或y+=-（x+），
即x+y-2=0或x+y+2=0．
分析：（1）當(dāng)切線斜率不存在時，直線與圓位置關(guān)系是相交，不合題意，所以設(shè)切線方程的斜率為k，根據(jù)P的坐標(biāo)寫出切線的方程，然后根據(jù)直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線的距離d，讓d等于半徑r列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，根據(jù)求出的k的值和P的坐標(biāo)寫出切線方程即可；
（2）當(dāng)切線斜率不存在時，直線與圓位置關(guān)系是外離，不合題意，所以設(shè)出切線方程的斜率為k，根據(jù)直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線的距離d，讓d等于圓的半徑r列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，由k的值和Q的坐標(biāo)寫出切線方程即可；
（3）設(shè)出切點的坐標(biāo)為（a，b），根據(jù)已知的斜率為-1，表示出切線的方程，然后利用點到直線的距離公式表示出圓心到所設(shè)直線的距離d，讓d等于圓的半徑r列出關(guān)于a與b的絕對值關(guān)系式，經(jīng)討論得到關(guān)于a與b的兩關(guān)系式，分別記作①和②，把切點的坐標(biāo)代入圓的方程，得到關(guān)于a與b的關(guān)系式，記作③，把①③聯(lián)立，②③聯(lián)立，分別求出兩對a與b的值，得到切點的坐標(biāo)有兩個，根據(jù)求出的切點坐標(biāo)和已知的切線的斜率寫出切線方程即可．
點評：此題考查學(xué)生掌握直線與圓相切時圓心到直線的距離等于圓的半徑，靈活運用點到直線的距離公式化簡求值，是一道中檔題．