Question

已知α， β∈(0， 

π

2

)，  且sinβ=2cos(α+β)sinα，若tan（α+β）=3，則tanα=

1

．．

Answer 1

分析：把已知等式的左邊中的角β變?yōu)棣?β-α，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，移項(xiàng)整理后，在等式左右兩邊同時(shí)除以cos（α+β）cosα，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后，將tan（α+β）的值代入即可求出tanα的值．

解答：解：∵α，β∈（0，

π

2

），
∴sinβ=sin（α+β-α）=2cos（α+β）sinα，
即sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=2cos（α+β）sinα
移項(xiàng)得：sin（α+β）cosα=3cos（α+β）sinα
兩邊同時(shí)除以cos（α+β）cosα得：tan（α+β）=3tanα，
∵tan（α+β）=3，
∴tanα=1．
故答案為：1

點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握公式及基本關(guān)系，靈活變換角度是解本題的關(guān)鍵．