Question

（2013•揭陽二模）已知a＞0，函數f（x）=ax²-lnx．
（1）求f（x）的單調區間；
（2）當a=

1

8

時，證明：方程f(x)=f(

2

3

)在區間（2，+∞）上有唯一解；
（3）若存在均屬于區間[1，3]的α，β且β-α≥1，使f（α）=f（β），證明：

ln3-ln2

5

≤a≤

ln2

3

．

Answer 1

分析：（1）先求出f^′（x），利用導數與函數單調性的關系即可得出；
（2）利用（1）的結論可知：f（x）-f(

2

3

)在區間（2，+∞）上單調遞增，再驗證函數零點存在定理的條件即可證明；
（3）由f（α）=f（β）及（1）的結論知α＜

2a

2a

＜β，從而f（x）在[α，β]上的最大值為f（α）（或f（β）），又由β-α≥1，α，β∈[1，3]，知1≤α≤2≤β≤3．利用其單調性解出即可．

解答：解：（1）函數f（x）的定義域（0，+∞），f′(x)=2ax-

1

x

=

2ax2-1

x

．
∵a＞0，令f'（x）＞0得：x＞

2a

2a

，令f'（x）＜0得：0＜x＜

2a

2a

．
∴函數f（x）的單調遞減區間為(0，

2a

2a

)，單調遞增區間為(

2a

2a

，+∞)．
（2）證明：當a=

1

8

時，f(x)=

1

8

x2-lnx，由（1）知f（x）的單調遞減區間為（0，2），單調遞增區間為（2，+∞），
令g(x)=f(x)-f(

2

3

)，則g（x）在區間（2，+∞）單調遞增且g（2）=f（2）-f(

2

3

)=

1

2

-ln2-

1

18

+ln

2

3

=

2

9

-ln3＜0，
g(e2)=

e4

8

-2-

1

18

+ln

2

3

＞0．
∴方程f(x)=f(

2

3

)在區間（2，+∞）上有唯一解．
（3）證明：由f（α）=f（β）及（1）的結論知α＜

2a

2a

＜β，
從而f（x）在[α，β]上的最大值為f（α）（或f（β）），
又由β-α≥1，α，β∈[1，3]，知1≤α≤2≤β≤3．
故

f(1)≥f(α)≥f(2) f(3)≥f(β)≥f(2)

，即

a≥4a-ln2 9a-ln3≥4a-ln2

從而

ln3-ln2

5

≤a≤

ln2

3

．

點評：本題考查了利用導數研究函數單調性、極值、最值得方法，函數零點判定定理等基礎知識與基本技能，靈活構造函數和善于利用已經證明的結論是解題的關鍵．