Question

如圖，已知拋物線x²＝4y與圓x²＋y²＝32相交于A、B兩點，圓與y軸正半軸交于C點，直線l是圓的切線，交拋物線于M、N，并且切點在上，

(1)求A、B、C點的坐標；

(2)當M、N兩點到拋物線焦點距離和最大時，求直線l的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由解得A(－4，4)，B(4，4)， 　　由解得C(0，)． 　　(2)設直線l：y＝kx＋b，且l與拋物線交于M(x1，y1)，N(x2，y2)，拋物線x2＝4y的準線為y＝－1，焦點為F． 　　由拋物線定義知d＝|MF|＋|NF|＝y1＋y2＋2， 　　由得y2－2(b＋2k2)y＋b2＝0， 　　則y1＋y2＝2(b＋2k2)， 　　又∵l與圓相切于， 　　∴，即k2＝－1． 　　由圖形知l過C點時，b最小為，當l過A或B時，b最大為8，即≤b≤8， 　　∴d＝(b＋8)2－10． 　　∴當b＝8時，d取最大值，此時k＝±1． 　　∴所求直線l的方程為y＝x＋8或y＝－x＋8．

提示：

列方程組求解A、B、C的坐標，設出l的方程，利用拋物線定義轉化條件．由l的方程與拋物線方程組成方程組，找出k與b的關系，再利用二次函數求其最值．