Question

（2009•溫州一模）如圖，已知拋物線x²=4y，過拋物線上一點A（x₁，y₁）（不同于頂點）作拋物線的切線l，并交x軸于點C，在直線y=-1上任取一點H，過H作HD垂直x軸于D，并交l于點E，過H作直線HF垂直直線l，并交x軸于點F．
（I）求證：|OC|=|DF|；
（II）試判斷直線EF與拋物線的位置關系并說明理由．

Answer 1

分析：（I）先利用導數的幾何意義，求出過拋物線上一點A（x₁，y₁）（不同于頂點）作拋物線的切線l的方程，令y=0即可得C點的坐標，再由HF垂直直線l，寫出直線HF的方程，令y=0即可得F點的坐標，從而可證|OC|=|DF|
（II）先求出E點的坐標，由（I）知F的坐標，從而寫出直線EF的方程，再與拋物線x²=4y聯立，證明△=0，即可證明直線EF與拋物線的位置關系為相切

解答：解：（I）∵y=

x2

4

∴y′=

x

2

∴kl=y′|x=x1=

x1

2

∴l：y=

x1

2

(x-x1)+

x 2 1

4

=

x1

2

x-

x 2 1

4

∴C(

x1

2

，0)
設H（a，-1）∴D（a，0）FH：y=-

2

x1

(x-a)-1∴F(a-

x1

2

，0)
∴|OC|=|DF|=|

x1

2

|
（II）∵E(a，

x1a

2

-

x12

4

)，F(a-

x1

2

，0)
∴kEF=

x1a 2 - x 2 1 4

x1 2

=a-

x1

2

∴EF：y=(a-

x1

2

)x-(a-

x1

2

)2
由

x2=4y y=(a- x1 2 )x-(a- x1 2 )2

⇒x2-4(a-

x1

2

)x+4(a-

x1

2

)2=0
△=16(a-

x1

2

)2-16(a-

x1

2

)2=0
∴直線EF與拋物線相切．

點評：本題考察了直線與拋物線的位置關系，特別注意當直線與拋物線相切時，可利用導數的幾何意義，也可聯立通過判別式△解決問題