Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1

3

x³-mx²+（m²-4）x，x∈R．已知函數(shù)f（x）有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)0，α，β，且α＜β．若對(duì)任意的x∈[α，β]，都有f（x）≥f（1）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：本題利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究恒成立問(wèn)題．先求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，利用單調(diào)性結(jié)合函數(shù)的圖象研究函數(shù)f（x）的零點(diǎn)分布問(wèn)題，最后轉(zhuǎn)化為一個(gè)一元二次方程的根的分布問(wèn)題．

解答：解：f′（x）=x²-2mx+（m²-4），令f′（x）=0，得x=m-2或x=m+2．
當(dāng)x∈（-∞，m-2）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，m-2）上是增函數(shù)；
當(dāng)x∈（m-2，m+2）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（m-2，m+2）上是減函數(shù)；
當(dāng)x∈（m+2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（m+2，+∞）上是增函數(shù)．
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)0，α，β，且f（x）=

1

3

x[x²-3mx+3（m²-4）]，
所以

(3m)2-12(m2-4)＞0 3(m2-4)≠0

解得m∈（-4，-2）∪（-2，2）∪（2，4）．
當(dāng)m∈（-4，-2）時(shí)，m-2＜m+2＜0，所以α＜m-2＜β＜m+2＜0．
此時(shí)f（α）=0，f（1）＞f（0）=0，與題意不合，故舍去；
當(dāng)m∈（-2，2）時(shí)，m-2＜0＜m+2，所以α＜m-2＜0＜m+2＜β．
因?yàn)閷?duì)任意的x∈[α，β]，都有f（x）≥f（1）恒成立，所以α＜1＜β．
所以f（1）為函數(shù)f（x）在[α，β]上的最小值．
因?yàn)楫?dāng)x=m+2時(shí)，函數(shù)f（x）在[α，β]上取最小值，所以m+2=1，即m=-1；
當(dāng)m∈（2，4）時(shí)，0＜m-2＜m+2，所以0＜α＜m-2＜m+2＜β．
因?yàn)閷?duì)任意的x∈[α，β]，都有f（x）≥f（1）恒成立，所以α＜1＜β．
所以f（1）為函數(shù)f（x）在[α，β]上的最小值．
因?yàn)楫?dāng)x=m+2時(shí)，函數(shù)f（x）在[α，β]上取最小值，
所以m+2=1，即m=-1（舍去）．
綜上可知，m的取值范圍是{-1}．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想．屬于基礎(chǔ)題．