【題目】已知數(shù)列
，
，且
對任意n
恒成立．
（1）求證：
(n)；
（2）求證：
(n)．
【答案】（1）見解析（2）見解析
【解析】
（1）利用數(shù)學(xué)歸納法直接證明，假設(shè)當(dāng)
時，
成立，則當(dāng)
時，
，將代入即可證得：當(dāng)時，
成立，問題得證。
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明，先證明
時，
成立，假設(shè)當(dāng)時， 成立，證明：當(dāng)時，
成立，
因?yàn)?/span>，可將證明問題轉(zhuǎn)化成：證明
，轉(zhuǎn)化成證明
，再轉(zhuǎn)化成證明
（
）成立。構(gòu)造函數(shù)
，利用導(dǎo)數(shù)即可判函數(shù)
在
上遞增，結(jié)合
，即可證得：當(dāng)時，
成立，即可證得：當(dāng)，成立，問題得證。
（1）①當(dāng)
時，
滿足
成立.
②假設(shè)當(dāng)時，結(jié)論成立.即：成立
下證：當(dāng)時，成立。
因?yàn)?/span>
即：當(dāng)時，成立
由①、②可知，
(n
)成立。
（2）（ⅰ）當(dāng)時，
成立，
當(dāng)
時，
成立，
（ⅱ）假設(shè)時（），結(jié)論正確，即：
成立
下證：當(dāng)時，成立.
因?yàn)?/span>
要證，
只需證
只需證：，
只需證：
即證：（）
記
當(dāng)
時，
所以在上遞增，
又
所以，當(dāng)
時，
恒成立。
即：當(dāng)時，
成立。
即：當(dāng)時，恒成立.
所以當(dāng)，恒成立.
由（ⅰ）（ⅱ）可得：對任意的正整數(shù)
，不等式恒成立，命題得證.
導(dǎo)學(xué)與測試系列答案
新非凡教輔沖刺100分系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】語文中回文句，如:“黃山落葉松葉落山黃，西湖垂柳絲柳垂湖西.”，倒過來讀完全一樣，數(shù)學(xué)中也有類似現(xiàn)象，無論從左往右讀，還是從右往左讀，都是同一個數(shù)，稱這樣的數(shù)為“回文數(shù)”!二位的回文數(shù)有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9個;三位的回文數(shù)有101，111，121，131，…，969，979，989，999，共90個;四位的回文數(shù)有1001，1111，1221，…，9669，9779，9889，999，共90個;五位的回文數(shù)有10001，11111，12221，…，96669，97779，98889，99999共900個，由此推測:10位的回文數(shù)總共有_______個.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)
為極點(diǎn)， 
軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知點(diǎn)
的直角坐標(biāo)為
，若直線
的極坐標(biāo)方程為
曲線
的參數(shù)方程是
（
為參數(shù)）.
（1）求直線
和曲線
的普通方程；
（2）設(shè)直線
和曲線
交于
兩點(diǎn)，求
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】排一張5個獨(dú)唱和3個合唱的節(jié)目單，如果合唱不排兩頭，且任何兩個合唱不相鄰，則這種事件發(fā)生的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某研究機(jī)構(gòu)為了了解各年齡層對高考改革方案的關(guān)注程度，隨機(jī)選取了200名年齡在
內(nèi)的市民進(jìn)行了調(diào)查，并將結(jié)果繪制成如圖所示的頻率分布直方圖（分第一～五組區(qū)間分別為
，
，
，
，
，
）.
（1）求選取的市民年齡在內(nèi)的人數(shù)；
（2）若從第3,4組用分層抽樣的方法選取5名市民進(jìn)行座談，再從中選取2人在座談會中作重點(diǎn)發(fā)言，求作重點(diǎn)發(fā)言的市民中至少有一人的年齡在內(nèi)的概率.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】隨著高考制度的改革，某省即將實(shí)施“語數(shù)外+3”新高考的方案，2019年秋季入學(xué)的高一新生將面臨從物理（物）、化學(xué)（化）、生物（生）、政治（政）、歷史（歷）、地理（地）六科中任選三科（共20種選法）作為自己將來高考“語數(shù)外+3”新高考方案中的“3”某市為了順利地迎接新高考改革，在某高中200名學(xué)生中進(jìn)行了“學(xué)生模擬選科數(shù)據(jù)”調(diào)查，每個學(xué)生只能從表格中的20種課程組合中選擇一種學(xué)習(xí)模擬選課數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表：
為了解學(xué)生成績與學(xué)生模擬選課情況之問的關(guān)系，用分層抽樣的方法從這200名學(xué)生中抽取40人的樣本進(jìn)行分析
(1)從選擇學(xué)習(xí)物理且學(xué)習(xí)化學(xué)的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，求這3人中至少有2人要學(xué)習(xí)生物的概率：
(2)從選擇學(xué)習(xí)物理且學(xué)習(xí)化學(xué)的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記這3人中要學(xué)習(xí)地理的人數(shù)為x，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】南方智運(yùn)汽車公司在我市推出了共享汽車“Warmcar”,有一款車型為“眾泰云”新能源共享汽車，其中一種租用方式“分時計(jì)費(fèi)”規(guī)則為：0.15元/分鐘+0.8元/公里．已知小李家離上班地點(diǎn)為10公里，每天租用該款汽車上、下班各一次，由于堵車、及紅綠燈等原因每次路上開車花費(fèi)的時間
（分鐘）是一個隨機(jī)變量，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了100次路上開車花費(fèi)時間，在各時間段內(nèi)是頻數(shù)分布情況如下表所示：
時間 |
|
|
|
|
|
|
|
頻數(shù) | 2 | 6 | 14 | 36 | 28 | 10 | 4 |
（1）寫出小李上班一次租車費(fèi)用
（元）與用車時間（分鐘）的函數(shù)關(guān)系；
（2）根據(jù)上面表格估計(jì)小李平均每次租車費(fèi)用；
（3）“眾泰云”新能源汽車還有一種租用方式為“按月計(jì)費(fèi)”，規(guī)則為每個月收取租金2350元，若小李每個月上班時間平均按21天計(jì)算，在不計(jì)電費(fèi)和情況下，請你為小李選擇一種省錢的租車方式．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】從某校隨機(jī)抽取100名學(xué)生，獲得了他們一周課外閱讀時間（單位：小時）的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖：
（1）從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生，試估計(jì)這名學(xué)生該周課外閱讀時間少于12小時的概率；
（2）求頻率分布直方圖中的a，b的值；
（3）假設(shè)同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，試估計(jì)樣本中的100名學(xué)生該周課外閱讀時間的平均數(shù)在第幾組（只需寫出結(jié)論）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】近年來，某地區(qū)積極踐行“綠水青山就是金山銀山”的綠色發(fā)展理念
年年初至
年年初，該地區(qū)綠化面積
（單位：平方公里）的數(shù)據(jù)如下表：
年份 |
|
|
|
|
|
|
|
年份代號 |
|
|
|
|
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綠化面積 |
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|
|
|
|
（1）求關(guān)于
的線性回歸方程；
（2）利用（1）中的回歸方程，預(yù)測該地區(qū)
年年初的綠化面積，并計(jì)算
年年初至年年初，該地區(qū)綠化面積的年平均增長率約為多少.
（附：回歸直線的斜率與截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為
，
）
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